آموزش نوین

سه دیدگاه در زمینه مسیر تکاملی ریاضیات

1.   ریاضیات در آغاز دانشی یگانه بوده است ، در این دوران نه تنها شاخه های گوناگون ریاضیات در هم آمیخته بود ، بلکه از عنصرهای نخستین دانشهای دیگر نیز جدا نبوده است . سپس در دوره های معینی از شکل گیری آگاهی ها و پیچیده تر شدن زندگی اقتصادی و اجتماعی ، در آغاز ، برخی از دانش ها از ریاضیات جدا شدند ، و بعد به تدریج ریاضیات هم به شاخه های جداگانه تقسیم شد .

ولی از آنجا که ریاضیات ، در ذات خود دانش یگانه‌ای است و وظیفه کشف قانونهای کمیتی حاکم بر طبیعت را بر عهده دارند ، بویژه در زمان ما ، همراه با تخصص های بسیار زیادی که در این زمینه پدید آمده است ، گرایش جدی به سمت یگانه کردن ریاضیات نیز پدید آمده است . به این ترتیب ریاضیات از دانشی واحد به سمت دانشهای جداگانه و سپس دوباره از دانشی پراکنده به سمت یگانگی حرکت کرده است .

2.   اگر به گونه‌ای دیگر ، به مسیر تاریخ ریاضیات بنگریم ، این مرحله ها را در جریان پیشرفت آن می بینیم : مرحلة پیش آگاهی که دوران شکل گیری مفهومهای نخستین ریاضیات است و از ژرفای تاریخ تا آغاز دوره شکوفایی ریاضیات یونانی ادامه دارد ؛ مرحله ریاضیات مقدماتی که به صورتی جدی از سده های ششم و هفتم پیش از میلاد و در یونان آغاز می شود و تا سدة شانزدهم میلادی ادامه دارد ؛ مرحلة ریاضیات با کمیتهای متغییر که از زمان نیوتن و لایب نیتس و با کشف قانونهای حاکم بر « بی نهایت کوچک ها » آغاز می شود و در سدة نوزدهم پایان می یابد ؛ و سرانجام مرحله ریاضیات معاصر که تا زمان ما ادامه دارد . این تقسیم بندی مرحله های تکاملی ریاضیات ، تنها بر ریاضیات نظری تکیه دارد و به نیمة دوم آن ، یعنی ریاضیات کاربردی کمتر توجه می کند .   تا پیش از سالهای دهه 1950 ، کتابهای مربوط به تاریخ ریاضیات ، بیشتر شامل شرح حال ریاضیدانان بود و به دوره های پیشرفت آن توجه نمی شد . از این سالها با انتشار دیدگاه های نیکلا کولموگوروف دربارة دوره های مختلف تکامل ریاضیات نظری ، به همان صورتی که در اینجا آمد ، به تقریب همه مورخان ریاضی از آن پیروی کردند . البته هستند ریاضیدانانی که در اساس ، ریاضیات کاربردی را جزو ریاضیات به حساب نمی آورند . از آن جمله ریاضیدانان فرانسوی هستند که با نام « نیکلا بورباکی » کتابهای ارزنده‌ای درباره ی ریاضیات نظری دارند .

      آنها ریاضیات را شهری آباد می دانند که ریاضیات کاربردی در حومة آن واقع است .       آنها گاهی شگفت زده می شوند که برخی موضوعهای ریاضیات نظری ، کاربرد خود را در عمل پیدا می کند . زیرا ریاضیات نظری زادة ذهن و اندیشة آدمی است و ربطی به عمل و کاربرد ندارد . مسیر ریاضیات نظری ، از دیدگاه کولموگوروف ، بسیاری از دشواریهای مربوط به تکامل ریاضیات را حل کرد ، ولی از آنجا که ریاضیات کاربردی را کنار می گذارد ، نتوانسته است همة جنبه های ریاضیات را شرح دهد .

3.   ریاضیات ، در مسیر تکاملی خود ، به تناوب از دوره های کاربردی و نظری گذشته است . دورة نخست پیشرفت ریاضیات ، که با تلاش همه قومهای باستانی و بطور عمده در سرزمینهای مصر و « میان دورود» و چین و عیلام بوده است ، مسیر کاربردی را می پیمود . در ضمن ، در آن زمان برخی عنصرهای نخستین ریاضیات نظری ( مفهوم ها و برخی قاعده ها و قضیه ها ) پدید آمد . جهت گیری اصلی ریاضیات در این دوره کاربردی بود ، ولی بتدریج عنصرهای نظری در آن وارد شد .

دوره دوم تکامل ریاضیات ، که بطور عمده در سرزمین یونان ، و سپس اسکندریه پا گرفت ، دوره‌ای با سمت گیری نظری به شمار می آید . دورة سوم تکامل ریاضیات ، که گرانیگاه آن در سرزمین ایران است ، دوره‌ای با سمت گیری کاربردی بود. ریاضیدانان این دوره ، با استفاده از همه دستاوردهای گذشته کوشیدند تمام رخنه های وجود در ریاضیات نظری دوره پیش را پر کنند و نظریه ها و شاخه های تازه‌ای در ریاضیات پدید آورند ( بویژه در زمینه ریاضیات نظری محاسبه‌ای ) ، ولی تمامی تلاش آنها برای کاربرد ریاضیات در برطرف کردن دشواریهای زندگی ، که در مقایسه با قبل پیچیده تر شده بود ، بکار گرفته می شد . این دوره بطور عمده در سالهای بین سده های نهم تا پانزدهم میلادی جریان داشت .

دورة سوم تکامل ریاضیات ، که بطور عمده در اروپای غربی و جنوبی از سدة شانزدهم میلادی آغاز می شود ، دوباره چرخشی به سوی ریاضیات نظری به شمار می  آید . این دوره کم و بیش تا زمان ما ادامه دارد ، ولی نشانه هایی جدی دیده می شود که از چندی پیش ، گرایشی کاربردی نیز پیدا می کند .

این سه دیدگاه ، جنبه های متفاوتی از مسیر پیشرفت ریاضیات را روشن می کنند و هر کدام به نوبة خود می توانند از عهدة خیلی از دشواری ها برآید . با وجود این ، به نظر می رسد دیدگاه سوم منطقی تر و عملی تر از دو دیدگاه دیگر باشد ؛ بویژه که در این دیدگاه ، هیچ قومی و هیچ سرزمینی از قلم نمی افتد و سهم هر یک از آنها در ساختمان ریاضیات کنونی روشن می شود و دیگر اینکه ، این روند با قانون دیالکتیکی « نفی در نفی » هم سازگار است .

دوباره به این پرسش برمی گردیم : آیا پیشرفت ریاضیات قانونمند است ؟

در پیشرفت و تاریخ ریاضیات ، مجموعه‌ای از همزمانی ها به چشم می خورد که می تواند گواه قانونمندی معینی از تکامل ریاضیات باشد .

نوربرت وینر1 (1894- 1963 ) ، ریاضیدان آزاد فکر آمریکایی ، آلمانی تبار ، که بنیانگذار دانش « سیبرنتیک» است ، در کتابی که به شرح کارهای علمی خود اختصاص  داده است ، از پیشامد جالبی صحبت می کند2 .زمانی این دانشمند در مورد نظریة پتانسیل کار می کرد . وقتی کارش به نتیجه معینی رسید ، آن را برای فرهنگستان علوم پاریس فرستاد . در همان روزی که نوشته وینر به دفتر فرهنگستان رسید ، نوشته‌ای در همان زمینه از بولیگان ، ریاضیدان فرانسوی ، نیز به آنجا رسید . فرهنگستان علوم پاریس دو پاکت را در یک روز باز کرد . کار بولیگان نیز در زمینة نظریة پتانسیل بود . نتیجه گیری های دو دانشمند ( بی آنکه از کار یکدیگر آگاه باشند ) کم و بیش یکسان بود . فرهنگستان دو نوشته را با هم در یک رسااله چاپ و با پیشگفتاری دربارة آن منتشر کرد .

لوباچفسکی ، بایای و گوس ، در یک زمان و در ضمن بدون آگاهی از کارهای یکدیگر ، گونه‌ای از هندسه های نا اقلیدسی ( هندسة هیپربولیک) را کشف کردند . این هندسة تازه ، بوسیلة لوباچفسکی منتشر شد که در آغاز « هندسة تخیلی » نام گرفت ، ولی بایای مجارستانی که به همان نتیجه ها رسیده بود ، نتوانست کشف خود را به دیگران بقبولاند .

گوس هم که از زخم زبان دیگران می ترسید ، اندیشه ها و نوشته های خود را فاش نکرد ، هر چند که لوباچفسکی و بایای خیلی به تأیید گوس در این زمین نیاز داشتند . بعد از مرگ گوس نوشته ها و یادداشت های او درباره اینگونه هندسة نا اقلیدسی چاپ و منتشر شد .

گالوا و آبل به تقریب در یک زمان ، حل مسئله های بالاتر از درجة چهارم را بررسی کردند . مجادله نیوتن و لایب نتس و هواداران آنها در کشف محاسبة دیفرانسیلی مشهور است . همچنین می توان از فرما و دکارت که بطور همزمان هندسة تحلیلی را کشف کردند یاپون تریاگین و کوراتوسکی که هر دو بطور جداگانه معیاری برای طرح ریزی گراف به دست آؤردند نام برد . تعداد این همزمانی ها آنقدر زیاد است که به روشنی احتمال تصادف را نفی می کند . در اینجا باید قانونی از تکامل ریاضیات نهفته باشد که به صورت « همزاد بودن پیشامدها » نمایان شود .

در تاریخ ، قانونمندی ، به عنوان سازوکار تکامل و به عنوان منطق درونی تاریخ که ماهیت دگرگونی ها را روشن می کند شناخته می شود . وجود نشانه های فراوان همزمانی در کشف می تواند دلیلی جدی بر وجود این قانونمندی باشد و به نظر من این قانونمندی همان تناوب دوره های کاربردی و نظری در مسیر تکامل ریاضیات است که با قانون نفی در نفی در منطق جدید هم سازگار است .

برخی از همزمانی ها را به گونة دیگی باید تفسیر کرد : در سرزمینهای جداگانه و دور از هم ، آن هم در دورانی که ارتباط های فرهنگی گسترده‌ای وجود نداشت ، مسیر تکامل ریاضیات کم و بیش یکسان بوده است . در سرزمین میان دورود ، در مرحله‌ای از پیشرفت ریاضیات ، متوجه شدند که برای عدد نویسی باید از دو قانون اصلی پیروی کرد : اول استفاده از اصل موضعی بودن رقم ها ، به این معنی که ارزش هر رقم بسته به مرتبه‌ای باشد که در آن قرار دارد ( وقتی عدد 888 را می نویسیم ، تنها از رقم 8 استفاده کرده ایم ، در حالی که اررزش این رقم ها با هم فرق دارد .

اگر از سمت راست در نظر بگیریم ، نخستین 8 نمایندة 8 است ، در حالیکه  8 دوم نماینده 80 و 8 سوم نماینده 800 است . )